понеділок, 28 грудня 2015 р.

Фізика велосипеда

Дозволю собі помістити тут мій вільний переклад статті з цього блогу.



Фізика велосипеда

 


Фізика велосипедів дуже широка і складна тема, можливо навіть більше, ніж можна собі уявити. Хоча число компонентів велосипеда мала, взаємодія між ним і динамічними принципами у ньому досить складна. Особливо це проявляється у стабільності велосипеда, яка є результатом складної динамічної взаємодії у системі велосипед-велосипедист.
На цій сторінці я поясню деякі з основних аспектів фізики велосипедів, які повинні дати читачеві змогу зрозуміти, як працюють велосипеди з точки зору фізики.

Фізика велосипеда - стабільність



Велосипеди за своєю природою дуже стійкі при їзді. Навіть без велосипедиста велосипед є стійкий, якщо йому надано достатньо швидкості. Багато зусиль потрачено для аналізу факторів стабільності велосипеда. Було встановлено, що "слід" (trail) (показано нижче) часто є важливим чинником стабільності велосипеда. Для традиційної конструкції велосипеда, якщо слід є додатнім, тобто проекція осі рульової осі з землею в точці контакту переднього колеса і землі, то велосипед є більш стабільним при їзді (тобто мала імовірність впасти з нього). Якщо ця проекція є позаду точки контакту (негативний слід), тоді велосипед є менш стабільним і велосипедист, скоріш за все, буде падати при їзді.



На основі геометричних міркувань математична формула для сліду є наступна:



де Rw є радіус кола, Ah є кут нахилу рульової труби, і Of є довжина загину вилки, так як показано на малюнку, і яка відома як зміщення вилки (fork offset).

При аналізі стійкості велосипеда в основному використовують два параметри: кут нахилу велосипеда і кут повороту велосипеда. Кути нахилу, лівий і правий, створює рама велосипеда, відхиляючись від вертикальної площини, а кут повороту утворюється переднім колесом з площиною велосипеда (яка містить раму велосипеда). На малюнку нижче показаний кут нахилу і кут повороту



де θ є кут нахилу і α є кутом повороту. Знак цих кутів вибирається, як правило, наступним чином по відношенню до велосипедиста, що сидить на велосипеді: праворуч кут нахилу додатній кут θ і вліво негативний кут θ. Правий поворот це додатній кут α і лівий поворот це від'ємний α. Для аналізу стійкості ці два кути є єдиними незалежними змінними, які необхідні для математичного аналізу стабільності велосипеда. Вони повністю описують орієнтацію велосипеда при переміщенні вперед. Щоб велосипед був стабільний, кут нахилу і повороту повинні мати тенденцію до "зникання", тобто ці кути мають коливатися близько нуля з невеликими позитивними і негативними значеннями. Це, в свою чергу, означає, що велосипед має тенденцію залишатися у вертикальному положенні з невеликим поворотом, при русі вперед. Цікаво, що блокування рульової завжди буде приводити до падіння велосипеда. Фізика стабільності вимагає, щоб переднє колесо могло вільно крутитися.

Як уже згадувалося, аналіз стійкості велосипеда є складним завданням з довгими і “покрученими” рівняннями. Відбувається уже багато фізичних взаємодій між різними компонентами велосипеда (а саме переднього і заднього колеса, рульової колонки, рами велосипеда), щоб все просто інтуїтивно пояснити. Щоб отримати достатнє розуміння стабільності велосипеда, краще зробити повний аналіз динаміки, і вже на його основі базувати своє розуміння.

На загал аналіз стабільності велосипеда проводять, використовуючи припущення, що велосипед є без велосипедиста. Це означає, що велосипед моделюється за допомогою тільки самого велосипеда (без велосипедиста). Це значно спрощує аналіз, і, відповідно, часто вважається, що стабільний велосипед без велосипедиста також буде стабільним разом з велосипедистом. Це може бути розумним припущенням, але, на жаль, воно ігнорує велосипедиста, який також впливає на стабільність велосипеда під час його використання.

Тим не менше, за відсутності чогось кращого, в загальному проводять аналіз стабільності без велосипедиста. Повний аналіз велосипедиста без велосипедиста можна прочитати в наступній статті:

Linearized dynamics equations for the balance and steer of a bicycle: a benchmark and review, J. P. Meijaard, Jim M. Papadopoulos, Andy Ruina, A. L. Schwab, June 2007. У форматі PDF можна потягнути тут.

Вплив гіроскопічного ефекту на стабільність велосипеда

Панує загальне переконання в тому, що гіроскопічні ефекти самі по собі роблять велосипед стабільним. Це насправді не так. Незважаючи на те, що гіроскопічні ефекти дійсно відіграють роль, вони є лише частиною набагато більшої динамічної взаємодії, яка відбувається між різними компонентами велосипеда, які разом в кінцевому рахунку роблять велосипеда стабільним під час їзди. Дизайн велосипеда а також конфігурація різних компонентів були оптимізовані впродовж віків (в основному методом проб і помилок), щоб зробити його якомога більш стабільним.
Як уже згадувалося, гіроскопічні ефекти не дають основного внеску у стабільність велосипеда, однак корисно подивитися, як саме гіроскопічні ефекти сприяють стабільності. Щоб краще це зрозуміти, розглянемо наступний сценарій:

Скажімо, велосипед без велосипедиста рухається з певною швидкістю. Будемо говорити, що велосипед нахиляється вправо (позитивне θ). Внаслідок цього переднє колесо нахиляється вправо (позитивне α) завдяки гіроскопічному ефекту. Щоб допомогти вам зрозуміти, чому це відбувається, подумайте, що потрібно було б зробити, щоб запобігти повороту переднього колеса вправо. Вам потрібно застосувати крутний момент в напрямку вліво (протилежному), на кермі, щоб запобігти повороту переднього колеса вправо. Таким чином, за відсутності моменту (на велосипеді без велосипедиста) переднє колесо, природно, повертає вправо. Ви можете перевірити це самостійно на велосипеді. Підніміть велосипед з землі і швидко обертайте переднє колесо вперед. Потім злегка нахиліть велосипедну раму вліво або вправо і спостерігайте, що відбуватиметься з переднім колесом у відповідь. Порівняйте це з тим, що відбувається під час нахилу, коли переднє колесо не обертається.

З переднім колесом поверненим праворуч велосипед рухається по круговій траєкторії (вправо). Це зменшує кут θ завдяки доцентровому прискоренню. Це, у свою чергу, призводить до того, що велосипед нахиляєтеся вліво (негативне θ), що відповідно повертає переднє колесо вліво (негативне α), що спричиняє круговий рух (вліво), аналогічно завдяки впливу доцентрового прискорення. Це зменшує θ (велосипед нахиляється вправо), що знову спричиняє поворот переднього колеса вправо, і так далі. Той самий ланцюг подій відбувається, якщо велосипед спочатку нахиляється вліво (негативне θ). Цей ланцюг подій утримує велосипед від падіння.

Всі фізичні взаємодії насправді складніші, ніж у сценарії, наведеному вище, особливо у зв'язку з коливаннями θ і α. Однак спрощений сценарій, наведений вище, показує внесок гіроскопічного ефекту в збереженні стабільності велосипеда.

Нахил під час повороту



При їзді на велосипеді необхідно нахилятися так, щоб компенсувати ефект доцентрового прискорення. Нахил всередину врівноважує доцентрове прискорення, і, відповідно, вхід в поворот можливий без падіння.

Для аналізу фізики, яка прихована за нахилом, розглянемо наступну схему.



Де:

θ є кут нахилу

R є радіус повороту, виміряний від центру мас G системи велосипед-велосипедист

ac є доцентрове прискорення центру мас G системи велосипед-велосипедист

m маса системи велосипед-велосипедист

g прискорення вільного падіння, яке для землі є 9.8 м/с2

L є відстань між точкою G і точкою ефективного контакту P між велосипедом і землею

N є сила реакції між велосипедом і землею

F є силою тертя між велосипедом і землею в напрямку доцентрового прискорення ac


Оскільки немає прискорення у вертикальному напрямку, тому сума вертикальних сил рівня нулю. Таким чином,



Застосуємо другий закон Ньютона в горизонтальному напрямку:



де v є швидкістю велосипеда в повороті.

Сума моментів в точці G:



(Зауважте, що ми ігноруємо тривимірні ефекти в цьому рівнянні. Вважаємо, що ними можна знехтувати).

Об'єднаємо тепер три рівняння, щоб знайти вираз для кута нахилу θ. Маємо



В наступному розділі ми розглянемо сили і потужність.

Сили і потужність

Малюнок показує велосипедиста, який дреться під гору з кутом нахилу Φ і швидкістю V.



Для руху велосипеда під гору велосипедист повинен натиснути на педалі. Педалі зміщені на 180°, а це означає, що тільки одна педаль може бути натиснута за раз з верхньої позиції до нижньої позиції, а потім перехід на іншу педаль (мова йде про звичайні педалі, не SPD).

Маючи силу F1, що діє на педалі, ми можемо обчислити результуючу силу F4 між заднім колесом і землею. Це та сила, яка рухає велосипед вперед.

Ми можемо виконати аналіз крутного моменту з хорошою точністю, припускаючи, що прискоренням (лінійним і кутовим) можна знехтувати. Отже, ми можемо вважати це статичною задачею.

Розглянемо малюнок нижче, з показаними силами і радіальними розмірами.



Де:

F1 сила, прикладена до педалі

R1 радіус педалі

F2 сила, яка діє на основний шатун, завдяки контакту з ланцюгом

R2 радіус основного шатуна

F3 сила, що діє на коліщатко задньої передачі, завдяки контакту з ланцюгом

R3 радіус коліщатка задньої передачі

F4 сила, що діє на заднє колесо, завдяки контакту з землею. Зауважте, що коефіцієнт статичного тертя між колесом і землею повинен бути достатньо великим, щоб підтримувати цю силу, інакше буде проковзування

R4 радіус заднього колеса


Використовуючи припущення про статичну рівновагу, можемо записати наступне рівняння для моментів:



і



Оскільки F2 = F3, ми можемо об'єднати два рівняння вище і отримати вираз для F4:



Сила F4 просуває велосипед вперед. Якщо ми припустимо, що велосипед рухається з постійною швидкістю (без прискорення), то сила F4 повинна бути рівна силам опору, що напрямлені в протилежному напрямку до руху велосипеда. Цими силами опору є сила тяжіння, сила тертя кочення, опір повітря і внутрішнє тертя велосипеда. Якщо знехтувати останньою, ми можемо написати наступний математичний вираз:



Де:

F сила, яка рухає велосипед вперед. Зауважте, що F ≡ F4

Cr є коефіцієнтом тертя кочення, яки може бути від 0.0022 до 0.005 для шин велосипеда (посилання: https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D1%80%D1%82%D1%8F_%D0%BA%D0%BE%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F)

Cd є коефіцієнтом опору

ρ є густиною повітря, через яке рухається велосипедист

A є це проектована площа перерізу велосипед-велосипедист перпендикулярно до напрямку руху (тобто перпендикулярно V), і V є швидкість велосипеда відносно повітря


Перший член правої частини рівняння вище є внесок тяжіння. Другий член є внесок тертя кочення. Третій член це внесок опору повітря.

Щоб обчислити потужність P, яку потрібно затратити на рух велосипеда, помножимо рівняння вище на v. Отримаємо P = Fv, і



Для плоскої поверхні (без підйому) покладемо Φ = 0. Отримаємо



і



Ми також можемо знайти максимальну швидкість велосипедиста, що спускається з гори з заданим кутом нахилу Ф. Оскільки велосипедист у даному випадку не тисне на педалі, ми маємо F ≡ F4 = 0. Таким чином, сила тяжіння повинна збалансувати сили опору тертя кочення і опору повітря. Отже, ми можемо знайти максимальну швидкість спускання V з наступного рівняння:



Природно, при їзді на велосипеді ми хочемо мати сили опру, які протидіють рухові, якомога меншими. Це досягається шляхом доброго накачування колеса (що мінімізує опір тертя кочення) і тримаючи фронтальну область A якомога меншою для зменшення аеродинамічного опору, особливо при русі на високих швидкостях, наприклад, в змаганнях. Як правило, опір тертя кочення значно більше, ніж опір повітря, зменшення A не має значення для звичайного велосипедиста, який переміщується з середньою швидкістю.

Прикольний експеримент

Спробуйте цей прикольний експеримент, пов'язаний з фізикою велосипеда (показано нижче). Поставте велосипед у вертикальному положенні і поставте одну з педалей в нижню позицію. Далі натисніть зліва на педаль. В яку сторону буде рухатися велосипед?



Відповідь: велосипед рухатиметься вліво (що не відповідає інтуіції). Навіть якщо сила, яку ви прикладаєте до педалі, повертає шатун за годинниковою стрілкою, тобто в напрямку, потрібному для переміщення велосипеда вправо, велосипед буде рухатись вліво. Це тому, що зовнішня сила F1 , яку ви подаєте на велосипед, призводить до меншої сили F4 в протилежному напрямку. Оскільки F1> F4, то велосипед переміщається вліво. Тепер, якщо б ви сіли на велосипед і натиснули ногою з силою F1, велосипед буде рухатися вправо, так як F1 тоді є внутрішньою силою в системі велосипед-велосипедист, а тою зовнішньою силою, що діє на велосипед, є F4, яка діє на заднє колесо і яка штовхає велосипед вправо.

1 коментар:

івась тарасик сказав...

в закладки, може стати в нагоді колись — малому до школи задачки розв’язувать =)

Google Analytics